logowanie


matematyka » arytmetyka » zbiory liczbowe » liczby wymierne » ułamki dziesiętne » przybliżenia dziesiętne

Przybliżenie dziesiętne

Czasami wystarczy nam wynik przybliżony pewnej wartości, takie sytuacje często występują w życiu codziennym. W finansach wystarcza nam zazwyczaj wartość z dokładnością do groszy, dwóch cyfr po przecinku. We wszelkich dziedzinach praktycznych prawie zawsze mamy wartości przybliżone. Od przybliżenia oczekujemy, że będzie bliskie pewnej wartości i może być uzyskane w dowolny przyjęty przez nas sposób.

Należy odróżnić pojęcie przybliżania od zaokrąglania. Zaokrąglanie uzyskuje się w ściśle określony sposób. Zaokrąglenie to takie przybliżenie, które uzyskano w drodze pewnej procedury. Dokonując zaokrąglania, pewną grupę cyfr pozostawiamy lub zastępujemy je innymi, według ściśle określonych zasad. I tak możemy spotkać przybliżenia, które nie są zaokrągleniami. Np. książka, która kosztuje 21,99 zł. Ktoś powie, że kosztuje około 22 zł, inny powie, ze kosztuje ponad 21 złotych, a jeszcze ktoś inny powie, że kosztuje około 20 zł. Wszystkie te określenia są pewnymi przybliżeniami, ale tylko pierwsze przybliżenie jest zaokrągleniem.

Zaokrąglanie możemy wykonywać ustalając liczbę cyfr po przecinku, a wykonujemy je analizując pierwszą odrzuconą cyfrę. I tak:
- jeśli pierwszą odrzuconą cyfrą jest jedna z cyfr 0, 1, 2, 3, 4, to zaokrąglamy z niedomiarem, czyli pozostawiamy wszystkie cyfry bez zmian
- jeśli pierwszą odrzucaną cyfrą jest jedna z cyfr 5, 6, 7, 8, 9, to zaokrąglamy z nadmiarem, zwiększając ostatnią cyfrę o 1


Przybliżenie dziesiętne liczby rzeczywistej $q$ jest jej rozwinięciem dziesiętnym ograniczonym do określonej liczby $n$ cyfr po przecinku i pominięciem dalszych. Jest to przybliżenie dziesiętne liczby $q$ z niedomiarem i z błędem nie przekraczającym $10^{-n}$. Przybliżenie dziesiętne z nadmiarem i błędem nie przekraczającym $10^{-n}$ można otrzymać z poprzedniego przez zastąpienie w nim ostatniej cyfry, przez cyfrę o 1 większą.

Błąd przybliżenia
Aby obliczyć błąd przybliżenia liczby $q$, odejmujemy jej przybliżenie $q_0$ od liczby: $q-q_0$. Jeśli błąd przybliżenia będzie liczbą dodatnią, to przybliżenie jest z niedomiarem, w przeciwnym przypadku przybliżenie jest z nadmiarem.

Przykłady
$\frac{11}{7} = 1.5714285...$
$\frac{11}{7} \approx 1.571$, przybliżenie dziesiętne z niedomiarem i błędem nie przekraczającym $0.001$
$\frac{11}{7} \approx 1.572$, przybliżenie dziesiętne z nadmiarem i błędem nie przekraczającym $0.001$
$\frac{11}{7} \approx 1.571$, zaokrąglenie liczby z dokładnością do $0.001$.
$\frac{11}{7} \approx 1.57$, zaokrąglenie liczby z dokładnością do $0.01$.
$\frac{11}{7} \approx 1.6$, zaokrąglenie liczby z dokładnością do $0.1$.

$\pi = 3.14159265...$
$\pi \approx 3.1415$, przybliżenie dziesiętne z niedomiarem.
$\pi \approx 3.1416$, przybliżenie dziesiętne z nadmiarem.
$\pi \approx 3.1416$, zaokrąglenie liczby do czterech cyfr po przecinku.
$\pi \approx 3.14$, zaokrąglenie liczby do dwóch cyfr po przecinku.





© 2020 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt