Równanie kwadratowe (trójmian kwadratowy)

Równanie kwadratowe

Równanie postaci ax² + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0 nazywamy równaniem kwadratowym lub trójmianem kwadratowym.

W zależności od wartości współczynników a, b, c równania kwadratowe dzielimy na zupełne i niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w których wszystkie współczynniki a, b, c są różne od zera. Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których współczynnik a ≠ 0, ale przynajmniej jeden ze współczynników b, c jest równy zero.

Równanie kwadratowe posiadać może rozwiązanie w liczbach rzeczywistych, lub też może tego rozwiązania nie posiadać. Liczba rozwiązań równania kwadratowego zależy od wartości wyróżnika Δ = b² - 4ac.

W zależności od wyróżnika Δ:
- równanie kwadratowe posiada dwa rozwiązania dla Δ > 0.
- równanie kwadratowe posiada jedno rozwiązanie dla Δ = 0,
- równanie kwadratowe nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych dla Δ < 0,

Dla Δ > 0 otrzymamy dwa rozwiązania: $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ , $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$
Dla Δ = 0 jedynym rozwiązaniem jest $x = \frac{- b}{2 a}$

Równanie kwadratowe niezupełne (a ≠ 0)

Równanie postaci ax² = 0 posiada jeden pierwiastek x = 0,

Równanie postaci ax² + bx = 0 posiada dwa pierwiastki
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = - \frac{b}{a}$

Równanie postaci ax² + c = 0:
- nie ma rozwiązania gdy ac > 0
- posiada dwa pierwiastki gdy ac < 0
$x_{1} = - \sqrt{- \frac{c}{a}}$ , $x_{2} = \sqrt{- \frac{c}{a}}$ ,

Wzory Viete'a

Wzory te podają wartości sum i iloczynów pierwiastków trójmianu kwadratowego:
$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ ,

Arabski sposób rozwiązywania równań kwadratowych