Równania wielomianowe
Równaniem wielomianowym nazywamy równanie
anxn +
an-1xn-1 + ... +
a2x2 +
a1x +
a0 = 0,
gdzie ai to współczynniki wielomianu należące do
zbioru liczb rzeczywistych oraz n jest liczbą naturalną.
Wielomian W występujący po lewej stronie równania nazywamy wielomianem stopnia n-tego z jedną niewiadomą, a zbiór równań wyznaczony przez wielomian W nazywamy równaniem z jedną niewiadomą stopnia n-tego.
Liczba a jest k-krotnym pierwiastkiem (rozwiązaniem) wielomianu n-tego stopnia wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian jest podzielny przez (x - a)k i nie jest podzielny przez (x - a)k+1.
Rozwiązując równanie wielomianowe dążyć należy do rozłożenia na czynniki wielomianu pamiętając, że:
wielomian n-tego stopnia ma co najwyżej npierwiastków,
wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek,
wielomian stopnia parzystego może nie mieć pierwiastków,
wielomian może mieć pierwiastki wielokrotne.
Metody rozkładu wielomianu na czynniki
- wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias,
- grupowanie wyrazów,
- wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia,
- wykorzystanie twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu i twierdzenia Bezouta.
Równaniem wielomianowym stopnia zerowego nazywamy każde równanie postaci
0 · x + a = 0
Dla wartości parametru a róznych od zera równanie nie posiada rozwiązań, natomiast dla wartości
zero parametru a, równanie ma jako rozwiązanie zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
Równanie wielomianowe stopnia pierwszego, to równanie liniowe, drugiego stopnia - równanie kwadratowe zwane także trójmianem kwadratowym. Dla równań liniowych i równań kwadratowych można znaleĽć ogólne rozwiązanie. Dla równań wielomianowych stopnia trzeciego i czwartego istnieją wzory na ich pierwiastki wyrażające się przez współczynniki tych równań, wzory te jednak nie ułatwiają szukania pierwiastków. Nie można natomiast znaleĽć ogólnego rozwiązania w przypadku wyższych stopni, da się jednak rozwiązać niektóre równania wysokich stopni.
Równania liniowe
Równania kwadratowe
Równania wielomianowe stopnia trzeciego