Rozszerzanie i skracanie ułamków
Złota zasada dotycząca ułamków powiada, że po pomnożeniu licznika i mianownika ułamka przez tę samą liczbę różną od zera, jego wartość nie ulega zmianie. Dzięki tej zasadzie możemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić ułamki.
Rozszerzanie ułamków to mnożenie, a skracanie (upraszczanie) ułamków to dzielenie licznika i mianownika ułamka przez taką samą liczbę różną od zera. Rozszerzając lub upraszczając ułamek nie zmieniamy jego wartości. Dzięki tej własności operacje rozszerzania i skracania ułamków często wykorzystujemy w działaniach na nich. Rozszerzanie ułamków wykorzystujemy przy sprowadzaniu ich do wspólnego mianownika, które to często jest pomocne w dodawaniu czy odejmowaniu. Skracanie to uproszczanie ułamka. Ułamki nieskrócone wyglądają źle.
Aby rozszerzyć ułamek, należy pomnożyć licznik i mianownik przez tę samą liczbę różną od zera.
Aby skrócić (uprościć) ułamek, należy podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę różną od zera.
Skracając ułamek szukamy największego wspólnego dzielnika dla licznika i mianownika. Jeśli dzielnik ten jest większy niż $1$, to
ułamek możemy uprościć (skrócić). Sam algorytm skracania jest prosty, wystarczy licznik i mianownik podzielić przez znaleziony dzielnik.
Po podzieleniu otrzymujemy ułamek równoważny poprzedniemu.
Są jednak ułamki, których nie da się już uprościć, takie ułamki nazywamy nieskracalnymi. Ułamki są nieskracalne wtedy,
gdy licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika większego od $1$. O liczbach, których największym wspólnym dzielnikiem jest liczba $1$,
mówimy, że są względnie pierwsze. Ułamkiem nieskracalnym nazywamy więc taki ułamek, którego licznik i mianownik są liczbami względnie pierwszymi.
Przykłady:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$ - ułamek trzy czwarte został rozszerzony przez $5$.
$\frac{6}{9} = \frac{6: 3}{9: 3} = \frac{2}{3}$ - ułamek sześć dziewiątych został skrócony przez $3$.
przykłady ułamków nieskracalnych: $\frac{7}{10}, \frac{6}{25}, \frac{2}{15}, \frac{3}{20}$