Konkurs Alfa

Autor	Wiadomość
minio603 postów: 3	2015-10-02 10:01:36 Zastanawiam się nad zdaniem z prawdopodobieństwem wybrania punktu w kwadracie tak by okrąg nie miał pkt stycznych z kwadratem. Doszedłem do tego, że obszar w którym ten punkt może być to kwadrat 5x5 w środku kwadratu. W kwadracie 20x20 mamy 16 takich kwadratów, czyli prawdopodobieństwo 0,0625. Tylko czy ten kwadrat 5x5 nie uwzględnia czasem punktów na jego obwodzie? W tych punktach okrąg będzie miał 1 pkt wspólny, bo r = 7,5.

Mariusz Śliwiński postów: 489	2015-10-02 15:53:10 Rozpatrujemy wszystkie punkty kwadratu. Jest jeden kwadrat $5 \times 5$ umiejscowiony centralnie wewnątrz dużego kwadratu, którego punkty mogą być środkiem okręgu, o którym mowa w zadaniu. Prawdopodobieństwo równe jest $\frac{5^2}{20^2}$.

panrafal postów: 174	2015-10-15 20:15:25 Jak zrobić to zadanie 5 z tangensem?

bea793 postów: 44	2015-10-15 20:27:19 ja podstawiłam z zależności ${sin}^{2}\alpha + {cos}^{2}\alpha = 1$ do równania i ładnie wyszedł sin$ \alpha$ a potem to już z $tg\alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} $ ale w sumie jestem ciekawa czy da się to rozwiązać inaczej :)

Mariusz Śliwiński postów: 489	2015-10-15 20:36:08 A tu odpowiedź do zadania z trapezem: http://www.math.edu.pl/wartosci-srednie Wiadomość była modyfikowana 2015-10-15 20:36:26 przez Mariusz Śliwiński

tumor postów: 8070	2015-10-15 20:43:36 Osobiście sprawdziłem w drugą stronę, biorąc tangens szybciej sprawdziłem, czy sinx i cosx dadzą odpowiednie równanie. Oczywiście logicznie trochę oszukałem. Najszybciej do głowy przychodzi sposób z rozwiązaniem układu równań i wyliczeniem sinx i cosx. Ale na dobrą sprawę nie trzeba. W trójkącie o przyprostokątnych a,b dla pewnego kąta ostrego jest $sin\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ $cos\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ $tg\alpha=\frac{a}{b}$ Możemy oczywiście potraktować te związki jak definicję funkcji dowolnego kąta skierowanego wyznaczonego przez punkt $P=(a,b)\neq (0,0)$, ale mniejsza o to. Podstawiając do równania mamy $\frac{3a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{4b}{\sqrt{a^2+b^2}}=5$ A po pomnożeniu przez mianownik i podniesieniu stronami do kwadratu i przeniesieniu na jedną stronę jest $16a^2-24ab+9b^2=0$ czyli $(4a-3b)^2=0$ $4a=3b$ $\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$ ---- Zadanie z trapezem nie wymagało wiedzy o średnich. Odcinek ma długość x i z samego podobieństwa trapezów jest $\frac{15}{x}=\frac{x}{20}$

Robert C. postów: 23	2015-10-15 20:46:33 Można było zauważyć, że dane równanie jest spełnione dla funkcji trygonometrycznych trójkąta prostokątnego o bokach 3,4,5 i kącie alfa leżącym naprzeciwko krótszej przyprostokątnej.

panrafal postów: 174	2015-10-15 21:20:53 No dobra, dzięki.

Szymon postów: 657	2015-11-12 20:47:25 Jak policzyć zadanie 4. z dzisiejszego konkursu?

aididas postów: 279	2015-11-12 21:48:53 Ja to biorę na czuja, w zasadzie jak każde prawdopodobieństwa i kombinatoryki. No to dla wygody orientacji okrąg porównajmy do tarczy zegara. A więc na początek dajmy punkt na okrąg i przekręćmy okrąg tak, by punkt znajdował się na dwunastej. Można tak zrobić zawsze, więc tutaj nie ma żadnych ograniczeń w prawdopodobieństwie. Dalej przeanalizujmy jakie będziemy mieli możliwości do ustawienia trzeciego punktu, jeśli najpierw ustawimy drugi punkt. Dajmy na to, że drugi punkt ustawiamy bardzo blisko pierwszego, niemalże też na dwunastej. Wówczas mamy do dyspozycji cały okrąg. Czyli jakby wybierać losowo miejsce dla tego trzeciego punktu, to mamy $\frac{1}{1}$ szans, że trafimy. Dalej ustawiając drugi punkt coraz dalej od dwunastej, w kierunku pierwszej, drugiej, i aż do szóstej, zakres dla którego możemy usadowić trzeci punkt zmniejsza się liniowo. I tak gdy mamy drugi punkt bardzo blisko szóstej, to trzeci możemy umiejscowić w połowie okręgu. Losowo wybierając miejsce dla trzeciego punktu jest prawdopodobieństwo $\frac{1}{2}$, że będzie ok. Tak więc kompromisem będzie prawdopodobieństwo pomiędzy skrajnymi możliwościami, a więc pomiędzy $\frac{1}{2}$ a $\frac{1}{1}$. I tak nasuwa się rozwiązanie $\frac{3}{4}$. Jest to też prawdopodobieństwo, gdy losowo będzie dobrze ustawiony trzeci punkt, mając pierwszy na dwunastej, a drugi na trzeciej. Wówczas do dyspozycji mamy obszar okresu od dziewiątej, poprzez dziesiątą, dwunastą aż do szóstej. Wiadomość była modyfikowana 2015-11-13 22:46:03 przez aididas

strony: 1 ... 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj