Teoria mnogo艣ci, zadanie nr 4701
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
tumor post贸w: 8070 |  2016-06-15 09:16:47Gdy liczysz niesko艅czenie wiele u艂amk贸w, to liczysz takie: $\frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{121451}{2435234}$ czy s膮dzisz, 偶e punkty $(1,2),(3,5),(121451,2435234)$ le偶膮 na okr臋gu o promieniu 1? Wszystkich u艂amk贸w jest niesko艅czenie wiele i wszystkich punkt贸w jest niesko艅czenie wiele. Pytanie jest jednak o cz臋艣膰 u艂amk贸w, kt贸re da si臋 przerobi膰 na punkty okr臋gu. Cz臋艣膰 wsp贸lna dw贸ch zbior贸w niesko艅czonych wcale nie musi by膰 zbiorem niesko艅czonym. Pokaza艂em przyk艂ad dw贸ch prostych, 偶eby by艂o wida膰, 偶e 艂atwo o obiekt geometryczny, kt贸ry mimo tego, 偶e si臋 sk艂ada z niesko艅czenie wiele punkt贸w, wcale nie ma zbyt wielu punkt贸w O OBU WSP脫艁RZ臉DNYCH WYMIERNYCH. We藕my krzyw膮 $y=e^x$. To inny przyk艂ad. Ona te偶 ma tylko JEDEN punkt o obu wsp贸艂rz臋dnych wymiernych, jest to (0,1). Je艣li x jest wymierny niezerowy, to jest algebraiczny, a wtedy $y=e^x$ jest liczb膮 przest臋pn膮, czyli niewymiern膮. Zatem tak naprawd臋 艁ATWO o krzyw膮, kt贸ra przechodzi przez niesko艅czenie wiele punkt贸w, ale wcale nie ma niesko艅czenie wielu punkt贸w o obu wsp贸艂rz臋dnych wymiernych. A teraz mamy okr膮g. Mo偶e on jest taki jak $e^x$ i prawie nie ma punkt贸w o obu wsp贸艂rz臋dnych wymiernych? A mo偶e jednak ma ich niesko艅czenie wiele? (A mo偶e nawet s膮 one g臋sto roz艂o偶one na okr臋gu? Co jest ciekawym pytaniem teoretycznym, ale si臋 nie b臋dziemy nim zajmowa膰) No i takie pytanie poboczne. Czy Twoja argumentacja by Ci臋 przekona艂a? Bo wydaje mi si臋, 偶e 艂atwo j膮 zastosowa膰 do wielu przyk艂ad贸w, w kt贸rych ewidentnie NIE ma niesko艅czenie wielu punkt贸w o obu wsp贸艂rz臋dnych wymiernych. :) To zn贸w taka uwaga na marginesie, dotycz膮ca traktowania matmy. Ucze艅 liceum si臋 rzadko zastanawia, jak to si臋 dzieje, 偶e co艣 dzia艂a. On kuje wzory i stosuje wzory. Natomiast matematyk wypracowuj膮c metod臋 musi sam siebie zapyta膰, czy go to przekonuje. No i nie mo偶e by膰 optymistyczny \"a mo偶e tak zrobimy i b臋dzie ok\", tylko to sprawdza. Szuka w tym wad. Dzi臋ki temu matematyka jest o wiele pewniejsza ni偶 jakakolwiek inna nauka. Status potwierdzenia w matematyce poprzez dow贸d jest czym艣 nieosi膮galnym w 偶adnej innej nauce. Zachowujemy to. Masz w og贸le pewno艣膰, 偶e punkt贸w na okr臋gu o obu wsp贸艂rz臋dnych wymiernych jest niesko艅czenie wiele? Ile ich umiesz wymieni膰? Mo偶e wymienianie pozwoli znale藕膰 metod臋 dowodu? |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-15 09:47:19 Czyli zbior D={(x,y)$\in Q^{2}$:$y=e^{x}$}={(0,1)}, to zbior D jest skonczony, przeliczalny i |D|=1. Odnosnie tego okregu: Na pewno sa cztery takie punkty (-1,0), (1,0), (0,-1), (0,1). Innych nie widze, a przynajmniej nie potrafie znalezc. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-15 10:03:17 szukaj jeszcze. :) Mog臋 podpowiedzie膰, no ale nie b臋dzie zabawy. $(\frac{63}{65},\frac{16}{65})$ :P |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-15 10:37:19 y=$\frac{k}{n}$ x=$\sqrt{1-y^{2}}$=$\sqrt{\frac{n^{2}-k^{2}}{n^{2}}}$ |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-15 10:43:32 x=$\frac{3}{5}$ y=$\frac{4}{5}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-15 10:58:42 Znakomicie. Masz ju偶 regu艂臋? Wida膰 j膮 w tym zapisie z pierwiastkami. |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-15 11:03:40 x=$\frac{8}{10}$ y=$\frac{6}{10}$ x=$\frac{12}{15}$ y=$\frac{9}{15}$ Mysle, ze bedzie ich nieskonczenie wiele. Zauwazam jakies wielokrotnosci, ale pelne uzasadnienie. |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-15 11:04:59 Licznik musi byc liczba wymierna. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-15 11:08:53 Na razie podajesz jeden przyk艂ad, nie trzy. :) Mo偶esz sobie narysowa膰 swoje rozwi膮zania w uk艂adzie wsp贸艂rz臋dnych i zauwa偶y膰, 偶e ka偶de opisuje ten sam punkt (lub, co najwy偶ej, symetryczny). :) Masz racj臋 od pocz膮tku, 偶e b臋dzie ich niesko艅czenie wiele, ale jeszcze nie mamy uzasadnienia tego faktu. Na razie znale藕li艣my 20 punkt贸w (cztery przeci臋cia z osiami, m贸j punkt i 7 do niego symetrycznych, Tw贸j punkt i 7 do niego symetrycznych*). *symetria polega na zamianie x,y miejscami i/lub dodaniu minus贸w. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-06-15 11:10:45 przez tumor |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-15 11:28:03 Skoro jest ich nieskonczenie wiele to wszystkich nie znajdziemy. Jaka regula? $\sqrt{n^{2}-k^{2}}$ musi byc liczba naturalna. Zawsze znajdziemy takie liczby calkowite k, n, ktorych pierwiastek z roznicy kwadratow bedzie naturalny? Juz sam nie wiem. |
| strony: 1 2 3 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj