Teoria mnogo艣ci, zadanie nr 4701
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
tumor post贸w: 8070 |  2016-06-15 11:48:14$n^2-k^2$ musi by膰 kwadratem liczby naturalnej, 偶eby pierwiastek mia艂 naturalny. Czyli $n^2-k^2=m^2$ czyli $n^2=m^2+k^2$ co opisuje tr贸jk膮t pitagorejski, czyli prostok膮tny o bokach naturalnych. Interesuj膮 nas tr贸jk膮ty, kt贸re nie s膮 podobne, bo podobne da艂yby identyczne stosunki bok贸w, czyli te same wsp贸艂rz臋dne punkt贸w. Nast臋puj膮ce rozumowanie b臋dzie zarazem szukaniem serii niesko艅czonej niepodobnych parami tr贸jk膮t贸w pitagorejskich. $n^2-k^2=m^2$ $(n-k)(n+k)=m^2$ Potrzebujemy znale藕膰 niesko艅czon膮 seri臋 r贸偶nych n,k. 艁atwo tak膮 dosta膰, je艣li $n-k=2$ Wtedy $n+k=2*a^2$ dla dowolnego a naturalnego. $\left\{\begin{matrix} n-k=2 \\ n+k=2*a^2 \end{matrix}\right.$ czyli $n=a^2+1$ $k=a^2-1$ No i wtedy $m=\sqrt{4a^2}=2a$ czyli wsp贸艂rz臋dne to $\frac{a^2-1}{a^2+1}$ oraz $\frac{2a}{a^2+1}$ dla a naturalnych. W ten spos贸b dla $a=2$ dostajemy $\frac{3}{5}$ i $\frac{4}{5}$ natomiast dla a=8 dostajemy $\frac{63}{65}$ i $\frac{16}{65}$ Mamy zatem niesko艅czon膮 seri臋, kt贸rej szukali艣my. |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-15 11:54:31 Dziekuje. |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-15 14:18:19 d) E={(x,y)$\in Q^{2}$: y=$\sqrt{1-x^{2}}$} |E|=alef zero. Rozumowanie analogiczne jak w a) tylko teraz jest polokrag. e) F={(x,y)$\in R^{2}$: y=$\sqrt{1-x^{2}}$} |F|=c. Rozumowanie analogiczne jak w b) i c) tylko teraz dziedzina chyba bedzie inna, czyli [0,$\pi$) czy jednak nie? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-15 14:24:47 W e) p贸艂okr膮g (dziedzin膮 jest $[-1,1]$ przy tym zapisie, w biegunowych k膮t od 0 do $\pi$ w艂膮cznie) natomiast w d) tylko punkty o wsp贸艂rz臋dnych wymiernych w tym okr臋gu. Ale oczywi艣cie cho膰 szukali艣my tam niesko艅czenie wielu punkt贸w w pierwszej 膰wiartce, to symetrycznie niesko艅czenie wiele punkt贸w trafia w ka偶d膮 膰wiartk臋, wobec tego niezale偶nie od tego, jak wykroimy p贸艂okr膮g, na pewno jest w nim $\aleph_0$ punkt贸w o obu wsp贸艂rz臋dnych wymiernych. Sk膮din膮d je艣li masz funkcj臋, gdzie warto艣膰 jest rzeczywista dla ka偶dego argumentu z dziedziny, a dziedzina jest podzbiorem R, to wykres funkcji ma tyle punkt贸w, ile ma ich dziedzina. Wobec tego w e) wystarczy poda膰 moc dziedziny, bo to funkcja, a poprzednio okr膮g trzeba by艂o potraktowa膰 inaczej, bo nie by艂 funkcj膮. Natomiast w d) mamy funkcj臋, ale nie interesuje nas zliczanie wszystkich punkt贸w wykresu, a tylko cz臋艣ci z nich, dlatego tego rozumowania nie u偶yjemy. |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-15 14:34:48 e) A jakby bylo 3/4 okregu (I, II, III cwiartka ukl. wspol.) to dziedzina bylaby [0, $\frac{3}{2}\pi$] czy [0, $\frac{3}{2}\pi$)? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-15 14:39:29 w ca艂ym okr臋gu tylko dlatego piszemy $[0,2\pi)$, 偶e $f(0)=f(2\pi)$, gdzie f jest sinusem albo cosinusem. Traciliby艣my bijekcj臋, funkcja by艂aby na, ale przesta艂aby by膰 r贸偶nowarto艣ciowa. Nie ma to znaczenia np w ca艂ce, gdzie r贸偶nica jednopunktowa nie zmienia pola powierzchni, ale ma znaczenie je艣li istotne jest dla nas, czy bijekcj臋 mamy czy nie mamy. W przypadku fragment贸w okr臋gu nie ma potrzeby wywala膰 jakiego艣 punktu z ko艅ca przedzia艂u, bo to zawsze dwa r贸偶ne punkty. |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-15 16:35:49 f) T=Zbi贸r punkt贸w wykresu funkcji f: $R \rightarrow R$; f(x)=sinx. czyli punkty postaci (x, sin(x)). Jest ich tyle ile x w dziedzinie, czyli R. Zatem |T|=c. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-15 16:46:51 Tak jest. |
| strony: 1 2 3 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj