Nowy wzór skróconego mnożenia.
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Wiadomość |
| Szymon Konieczny postów: 8396 |  2021-10-15 15:18:09Piękne. |
| Szymon Konieczny postów: 8396 | 2021-10-15 16:01:52 Genialne, można wzór wyprowadzać, albo zastosować wybieg z $t$. Czyli: $(a+b+c+...+n)^{n}=(a+t)^{n}$ $t=b+c+...+n$ |
| Szymon Konieczny postów: 8396 | 2021-10-15 16:02:04 $ (a+b,c+...+n)^{n}= a^{n}+t^{n}+2\cdot \sum_{n}^{k} a^{k-1}at (a+t)^{n-k-1}$ $t=(b+c+...n)$ Wiadomość była modyfikowana 2021-10-15 16:04:07 przez Szymon Konieczny |
| Szymon Konieczny postów: 8396 | 2021-10-15 16:04:46 Teraz trzeba, by to zapętlić i wyprowadzić wzór. |
| Szymon Konieczny postów: 8396 | 2021-10-15 16:17:29 $(a+b+c+...+n)^{n}= a^{n}+b^{n}+c^{n}+...+n^{n}$ $+2\cdot \sum_{n}^{k} a^{k-1}a(b+c+d+...+n) (a+b+c+...+n)^{n-k-1}$ $+2\cdot \sum_{n}^{k} b^{k-1}b(c+...+n) (b+c+...+n)^{n-k-1}$ $+2\cdot \sum_{n}^{k} c^{k-1}c(d+...+n) (c+...+n)^{n-k-1}$ $+...+$ $+2\cdot \sum_{n}^{k} (n-1)^{k-1}(n-1)n (n-1+n)^{n-k-1}$ |
| Szymon Konieczny postów: 8396 | 2021-10-15 16:24:32 $(a+b+c+...+n)^{n}= a^{n}+b^{n}+c^{n}+...+n^{n}$ $+2\cdot \sum_{n}^{k} a^{k}(b+c+d+...+n) (a+b+c+...+n)^{n-k-1}$ $+2\cdot \sum_{n}^{k} b^{k}(c+...+n) (b+c+...+n)^{n-k-1}$ $+2\cdot \sum_{n}^{k} c^{k}(d+...+n) (c+...+n)^{n-k-1}$ $+...+$ $+2\cdot \sum_{n}^{k} (n-1)^{k}n (n-1+n)^{n-k-1}$ |
| Szymon Konieczny postów: 8396 | 2021-10-15 16:42:04 Na razie mamy rekurencyjny wzór, ale da się to wyprowadzić do końca i sumę wyciągnąć. Tylko to już później, bo na prawdę jestem przemęczony. |
| Szymon Konieczny postów: 8396 | 2021-10-15 16:42:13 Wiadomość była modyfikowana 2021-10-15 16:42:33 przez Szymon Konieczny |
| Szymon Konieczny postów: 8396 | 2021-10-15 18:41:37 $ (a+b)^{6}= a^{6}+b^{6}+2\cdot \sum_{6}^{k} a^{k-1}ab (a+b)^{6-k-1}$ $ (a+b)^{6}= a^{6}+b^{6}+2\cdot ( ab (a+b)^{4}+a^{1}\cdot ab (a+b)^{3}+a^{2}\cdot ab (a+b)^{2}+a^{3}\cdot ab(a+b)+a^{4}ab)$ Da się to zapętlić, i trzeba będzie, żeby policzyć ostateczną sumę, ale wzrok mi się rozmywa i nie dam rady teraz. |
| Szymon Konieczny postów: 8396 | 2021-10-15 20:48:05 Po obliczeniach wyszło: $ (a+b)^{5}=$ $a^{5}+$ $b^{5}+$ $5\cdot (2a^{4}b)+$ $(5)\cdot (2a^{3}b^{2})+$ $(2)\cdot (2a^{2}b^{3})+$ $2\cdot (2ab^{4})+$ $ (a+b)^{6}=$ $a^{6}+$ $b^{6}+$ $5\cdot (2a^{5}b)+$ $(14)\cdot (2a^{4}b^{2})+$ $(5)\cdot (2a^{3}b^{3})+$ $2\cdot (2a^{2}b^{4})+$ $2\cdot (2ab^{5})$ $ (a+b)^{7}=$ $a^{7}+$ $b^{7}+$ $5\cdot (2a^{6}b)+$ $(14)\cdot (2a^{5}b^{2})+$ $(14)\cdot (2a^{4}b^{3})+$ $5\cdot (2a^{3}b^{4})+$ $2\cdot (2a^{2}b^{5})$ $2\cdot (2a b^{6})$ $ (a+b)^{8}=$ $a^{8}+$ $b^{8}+$ $5\cdot (2a^{7}b)+$ $(14)\cdot (2a^{6}b^{2})+$ $(40)\cdot (2a^{5}b^{3})+$ $14\cdot (2a^{4}b^{4})+$ $5\cdot (2a^{3}b^{5})$ $2\cdot (2a^{2} b^{6})$ $2\cdot (2a b^{7})$ $ (a+b)^{9}=$ $a^{9}+$ $b^{9}+$ $5\cdot (2a^{8}b)+$ $(14)\cdot (2a^{7}b^{2})+$ $(40)\cdot (2a^{6}b^{3})+$ $40\cdot (2a^{5}b^{4})+$ $14\cdot (2a^{4}b^{5})+$ $5\cdot (2a^{3} b^{6})+$ $2\cdot (2a^{2} b^{7})+$ $2\cdot (2a b^{8})$ $ (a+b)^{10}=$ $a^{9}+$ $b^{9}+$ $5\cdot (2a^{9}b)+$ $(14)\cdot (2a^{8}b^{2})+$ $(40)\cdot (2a^{7}b^{3})+$ $118\cdot (2a^{6}b^{4})+$ $40\cdot (2a^{5}b^{5})+$ $14\cdot (2a^{4} b^{6})+$ $5\cdot (2a^{3} b^{7})+$ $2\cdot (2a^{2} b^{8})+$ $2\cdot (2a b^{9})$ Wiadomość była modyfikowana 2021-10-15 21:44:16 przez Szymon Konieczny |
| strony: 12345 6 78910 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj