logowanie

matematyka » forum » matematyka » temat

Nowy wzór skróconego mnożenia.

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorWiadomość

Szymon Konieczny
postów: 11556
2021-10-15 15:18:09

Piękne.


Szymon Konieczny
postów: 11556
2021-10-15 16:01:52

Genialne, można wzór wyprowadzać, albo zastosować wybieg z $t$.

Czyli:

$(a+b+c+...+n)^{n}=(a+t)^{n}$
$t=b+c+...+n$


Szymon Konieczny
postów: 11556
2021-10-15 16:02:04


$ (a+b,c+...+n)^{n}= a^{n}+t^{n}+2\cdot \sum_{n}^{k} a^{k-1}at (a+t)^{n-k-1}$
$t=(b+c+...n)$

Wiadomość była modyfikowana 2021-10-15 16:04:07 przez Szymon Konieczny

Szymon Konieczny
postów: 11556
2021-10-15 16:04:46

Teraz trzeba, by to zapętlić i wyprowadzić wzór.


Szymon Konieczny
postów: 11556
2021-10-15 16:17:29

$(a+b+c+...+n)^{n}= a^{n}+b^{n}+c^{n}+...+n^{n}$
$+2\cdot \sum_{n}^{k} a^{k-1}a(b+c+d+...+n) (a+b+c+...+n)^{n-k-1}$
$+2\cdot \sum_{n}^{k} b^{k-1}b(c+...+n) (b+c+...+n)^{n-k-1}$
$+2\cdot \sum_{n}^{k} c^{k-1}c(d+...+n) (c+...+n)^{n-k-1}$
$+...+$
$+2\cdot \sum_{n}^{k} (n-1)^{k-1}(n-1)n (n-1+n)^{n-k-1}$


Szymon Konieczny
postów: 11556
2021-10-15 16:24:32

$(a+b+c+...+n)^{n}= a^{n}+b^{n}+c^{n}+...+n^{n}$
$+2\cdot \sum_{n}^{k} a^{k}(b+c+d+...+n) (a+b+c+...+n)^{n-k-1}$
$+2\cdot \sum_{n}^{k} b^{k}(c+...+n) (b+c+...+n)^{n-k-1}$
$+2\cdot \sum_{n}^{k} c^{k}(d+...+n) (c+...+n)^{n-k-1}$
$+...+$
$+2\cdot \sum_{n}^{k} (n-1)^{k}n (n-1+n)^{n-k-1}$


Szymon Konieczny
postów: 11556
2021-10-15 16:42:04

Na razie mamy rekurencyjny wzór, ale da się to wyprowadzić do końca i sumę wyciągnąć. Tylko to już później, bo na prawdę jestem przemęczony.


Szymon Konieczny
postów: 11556
2021-10-15 16:42:13



Wiadomość była modyfikowana 2021-10-15 16:42:33 przez Szymon Konieczny

Szymon Konieczny
postów: 11556
2021-10-15 18:41:37

$ (a+b)^{6}= a^{6}+b^{6}+2\cdot \sum_{6}^{k} a^{k-1}ab (a+b)^{6-k-1}$

$ (a+b)^{6}= a^{6}+b^{6}+2\cdot ( ab (a+b)^{4}+a^{1}\cdot ab (a+b)^{3}+a^{2}\cdot ab (a+b)^{2}+a^{3}\cdot ab(a+b)+a^{4}ab)$

Da się to zapętlić, i trzeba będzie, żeby policzyć ostateczną sumę, ale wzrok mi się rozmywa i nie dam rady teraz.


Szymon Konieczny
postów: 11556
2021-10-15 20:48:05

Po obliczeniach wyszło:






$
(a+b)^{5}=$
$a^{5}+$
$b^{5}+$
$5\cdot (2a^{4}b)+$
$(5)\cdot (2a^{3}b^{2})+$
$(2)\cdot (2a^{2}b^{3})+$
$2\cdot (2ab^{4})+$


$
(a+b)^{6}=$
$a^{6}+$
$b^{6}+$
$5\cdot (2a^{5}b)+$
$(14)\cdot (2a^{4}b^{2})+$
$(5)\cdot (2a^{3}b^{3})+$
$2\cdot (2a^{2}b^{4})+$
$2\cdot (2ab^{5})$

$
(a+b)^{7}=$
$a^{7}+$
$b^{7}+$
$5\cdot (2a^{6}b)+$
$(14)\cdot (2a^{5}b^{2})+$
$(14)\cdot (2a^{4}b^{3})+$
$5\cdot (2a^{3}b^{4})+$
$2\cdot (2a^{2}b^{5})$
$2\cdot (2a b^{6})$


$
(a+b)^{8}=$
$a^{8}+$
$b^{8}+$
$5\cdot (2a^{7}b)+$
$(14)\cdot (2a^{6}b^{2})+$
$(40)\cdot (2a^{5}b^{3})+$
$14\cdot (2a^{4}b^{4})+$
$5\cdot (2a^{3}b^{5})$
$2\cdot (2a^{2} b^{6})$
$2\cdot (2a b^{7})$

$
(a+b)^{9}=$
$a^{9}+$
$b^{9}+$
$5\cdot (2a^{8}b)+$
$(14)\cdot (2a^{7}b^{2})+$
$(40)\cdot (2a^{6}b^{3})+$
$40\cdot (2a^{5}b^{4})+$
$14\cdot (2a^{4}b^{5})+$
$5\cdot (2a^{3} b^{6})+$
$2\cdot (2a^{2} b^{7})+$
$2\cdot (2a b^{8})$

$
(a+b)^{10}=$
$a^{9}+$
$b^{9}+$
$5\cdot (2a^{9}b)+$
$(14)\cdot (2a^{8}b^{2})+$
$(40)\cdot (2a^{7}b^{3})+$
$118\cdot (2a^{6}b^{4})+$
$40\cdot (2a^{5}b^{5})+$
$14\cdot (2a^{4} b^{6})+$
$5\cdot (2a^{3} b^{7})+$
$2\cdot (2a^{2} b^{8})+$
$2\cdot (2a b^{9})$

Wiadomość była modyfikowana 2021-10-15 21:44:16 przez Szymon Konieczny
strony: 12345 6 78910

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj