Zadanie 261 Rozwiązanie
Dany jest ciąg $(a_n)$ zdefiniowany nastepująco: $a_0 = 1$, $a_1 = 2$, $a_n = a_{n-2} + (a_{n-1})^2$, dla $n \ge 2$. Ile wynosi reszta z dzielenia wyrazu $a_{2012}$ przez 7?

Zadanie 262 Rozwiązanie
Iloma sposobami można 50 groszy rozmienić na monety 1, 2 i 5 groszowe?

Zadanie 263 Rozwiązanie
Ile wynosi współczynnik przy $x^8$ w rozwinięciu wyrażenia $(1+x^2-x^3)^9$?

Zadanie 264 Rozwiązanie
Wewnątrz trójkąta równobocznego $ABC$ wybrano dowolny punkt $P$. Punkty $D, E, F$ są rzutami prostokątnymi punktu $P$ na boki odpowiednio $AB, BC, CA$. Oblicz wartośc wyrażenia $\frac{|PD| + |PE| + |PF|}{|AD| + |BE| + |CF|}$.

Zadanie 265 Rozwiązanie
Ile jest sposobów takiego ustawienia 12 białych i 12 czarnych pionów na czarnych polach szachownicy 8×8, aby ustawienie to było symetryczne względem środka szachownicy oraz przy symetrii piony jednego koloru przychodziły w piony koloru przeciwnego?

Zadanie 266 Rozwiązanie
Kwadrat podzielono na trójkąty tak, aby powstała siatka ostrosłupa. Oblicz pole powierzchni tego ostrosłupa wiedząc, że jego objętość wynosi 72.

Zadanie 267 Rozwiązanie
Ile istnieje trójkątów, których wierzchołki są wierzchołkami 15-kąta wypukłego, ale których boki nie pokrywają się z bokami tego wielokąta?

Zadanie 268 Rozwiązanie
Pola szachownicy 4×4 maluje się czterema kolorami w ten sposób, że w każdym wierszu występują wszystkie kolory, a w żadnej kolumnie nie ma ani jednej pary sąsiednich pól pomalowanych na ten sam kolor. Ile jest sposobów takiego pomalowania?

Zadanie 269 Rozwiązanie
Zapisujemy za pomocą klawiatury kolejne liczby naturalne bez odstępów: 123456789101112... oraz z odstępami pomiędzy liczbami: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...
Jakie cyfry jako ostatnie zostaną zapisane po 2012 uderzeniu w klawisz w podanych ciągach?

Zadanie 270 Rozwiązanie
Jakie są ostatnie dwie cyfry liczby $3^{4^{5^{2012}}}$?

Zadanie 271 Rozwiązanie
Każdy bok kwadratu $ABCD$ o polu równym 1 podzielono na trzy równe części. Przez osiem punktów podziału poprowadzono cztery odcinki tak, że powstał kwadrat $KLMN$ obrócony o 45 stopni względem kwadratu $ABCD$. Ile wynosi pole kwadratu $KLMN$?

Zadanie 272 Rozwiązanie
Ile istnieje różnych sposobów pomalowania wszystkich wierzchołków sześcianu za pomocą dwóch różnych kolorów?

Zadanie 273 Rozwiązanie
W kole poprowadzono dwie prostopadłe cięciwy. W wyniku przecięcia cięciw otrzymano cztery odcinki o długościach $1, 2, 3, x$. Jaką najmniejszą długość może mieć odcinek $x$?

Zadanie 274 Rozwiązanie
Ile wynosi suma miar siedmiu zaznaczonych kątów?

Zadanie 275 Rozwiązanie
Ile jest liczb naturalnych 0 < n < 1000, które wyrażone w systemie binarnym zawierają parzystą liczbę jedynek?

Zadanie 276 Rozwiązanie
W sześcian o krawędzi 1 wpisano kulę $K_1$. Ile wynosi promień kuli $K_2$ stycznej zewnętrznie do kuli $K_1$ i do trzech ścian sześcianu?

Zadanie 277 Rozwiązanie
Ile liczb naturalnych $n$ $(n>0)$ nie można przedstawić za pomocą skończonej ($\ge 1$) sumy liczb postaci $a^b$, gdzie $a, b$ są liczbami naturalnymi większymi od 1?

Zadanie 278 Rozwiązanie
Każdy bok kwadratu podzielono na 4 części. Ile można zbudować trójkątów, których wierzchołkami będą punkty podziału?

Zadanie 279 Rozwiązanie
W pewnym czworościanie każda z krawędzi ma inną długość. Ile jest płaszczyzn położonych w równej odległości od każdego z wierzchołków czworościanu?

Zadanie 280 Rozwiązanie
Po odrzuceniu $k$ ścian wielościanu wypukłego każda z pozostałych ścian ma inną liczbę krawędzi. Jaką najmniejszą wartość może przyjąć $k$?

strony: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18