Zadanie 281 Rozwiązanie
Środki dwóch sfer o promieniach 29 i 25 są odległe o 36. Ile wynosi długość linii ich przecięcia?

Zadanie 282 Rozwiązanie
Ile jest pól na szachownicy 8×8, że szachownicę bez tego pola można pokryć kamieniami 3×1?

Zadanie 283 Rozwiązanie
Dla ilu cyfr jest możliwe, aby liczby $2^n$ i $5^n$, dla dowolnego naturalnego $n$ zaczynały się tą samą cyfrą?

Zadanie 284 Rozwiązanie
Dwa boki trójkąta o polu równym 16 mają długości 5 i 8. Ile wynosi długość trzeciego boku tego trójkąta?

Zadanie 285 Rozwiązanie

W trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej 4 wpisano kwadrat o boku 1 tak jak na rysunku. Jaką długość ma dłuższa przyprostokątna?

Zadanie 286 Rozwiązanie
Na odcinku długości $2013$ rozmieszczono równomiernie $2014$ punktów. Rozpoczynając z dowolnego punktu, poruszając się wzdłuż prostej, należy odwiedzić wszystkie punkty (każdy dokładnie jeden raz) tak, aby przebyta droga była jak najdłuższa. Jaka jest długość najdłuższej drogi?

Zadanie 287 Rozwiązanie
- Jasiu - woła Stasiu - mam dla Ciebie łamigłówkę!
- Super, lubię łamigłówki.
- Popatrz, mam tu siedem kart ponumerowanych od 1 do 7. Układam je na stosie w takiej oto kolejności: 1 6 2 5 3 7 4. A teraz zobacz co się będzie działo. Odwracam całą talię i pierwszą kartę z góry wykładam odkrytą na stół, jest to karta z numerem 1, drugą kartę wkładam na spód talii, trzecią na stół, czwartą na spód i tak dalej. W ten sposób na stole pojawiają się karty ułożone rosnąco.
- Fajne, ale gdzie ta łamigłówka?
- Zrób to samo dla 52 kart, a zobaczysz, że nie jest to takie łatwe.

Zadanie 288 Rozwiązanie
Ile jest $13$-elementowych ciągów zerojedynkowych, w których żadne dwa kolejne wyrazy nie są zerami?

Zadanie 289 Rozwiązanie

Szyfr matematyczny
Każdej literze alfabetu łacińskiego została przyporządkowana liczba porządkowa.

Szyfrowanie wiadomości polega na zastąpieniu każdej litery przypisaną do niej liczbą.
Wiadomość KOBYLA MA MALY BOK po zaszyfrowaniu ma postać ciągu złożonego z cyfr i znaku spacji: 1115225121 131 1311225 21511
O ile szyfrowanie jest jednoznacznie wyznaczone, to odszyfrowanie już niekoniecznie.
Zadanie: ile różnych wiadomości, złożonych ze słów mających sens lub nie, możemy otrzymać w wyniku deszyfracji?

Zadanie 290 Rozwiązanie
Ile dzielników naturalnych ma liczba $13!$?

Zadanie 291 Rozwiązanie
Ile jest liczb naturalnych, których zapis dziesiętny złożony jest z różnych cyfr?

Zadanie 292 Rozwiązanie
W kwadracie o boku długości $1$ z każdego wierzchołka zatoczono okrąg o promieniu $1$. Oblicz pole części wspólnej otrzymanych w ten sposób kół.

Zadanie 293 Rozwiązanie
Na ile sposobów można spośród 2013-tu kolejnych liczb całkowitych wybrać takie trzy liczby, aby ich suma była podzielna przez 3?

Zadanie 294 Rozwiązanie
Wyznacz największą liczbę naturalną, która jest o $1$ większa od sumy kwadratów swoich cyfr.

Zadanie 295 Rozwiązanie
W ilu podzbiorach zbioru $\{1, 2, 3, ..., 12\}$ suma elementu najmniejszego i elementu największego równa jest $13$?

Zadanie 296 Rozwiązanie
Ile jest sposobów ustawienia na szachownicy $8$×$8$ dwóch nierozróżnialnych, atakujących się wzajemnie skoczków szachowych?

Zadanie 297 Rozwiązanie
Wyznacz liczbę cyfr liczby $6^{1000000}$.

Zadanie 298 Rozwiązanie
Każdy z miliona biletów tramwajowych oznaczono innym sześcioelementowym ciągiem cyfr. Ile jest par $(n, m)$ różnych liczb naturalnych takich, że biletów oznaczonych liczbą o sumie cyfr $n$ jest tyle samo co biletów oznaczonych liczbą o sumie cyfr $m$?

Zadanie 299 Rozwiązanie
Rozmieszczamy losowo sto jednakowych kul w trzynastu szufladach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadna szuflada nie będzie pusta?

Zadanie 300 Rozwiązanie
Dla ilu całkowitych $k \le 1000$ istnieje co najmniej jeden trójkąt pitagorejski o przeciwprostokątnej $k$?

strony: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18