Zadanie 301 Rozwiązanie
Ile jest trzycyfrowych liczb naturalnych w systemie o podstawie $13$?

Zadanie 302 Rozwiązanie
Ile istnieje funkcji liniowych $f(x) = ax + b$ takich, że $f(b) = 2013a$, dla $a, b$ całkowitych?

Zadanie 303 Rozwiązanie
Znajdź najmniejszą liczbę naturalną $n$ taką, że jest ona dzielnikiem liczby $2^n-2$, ale nie jest dzielnikiem liczby $3^n-3$.

Zadanie 304 Rozwiązanie
Na okręgu o środku $O$ zaznaczono punkty $A, B, C$ takie, że cięciwa $AB$ ma długość $12$, a cięciwa $BC$ jest równoległa do stycznej poprowadzonej w punkcie $A$ i odległa od tej stycznej o $4$. Oblicz pole trójkąta $BOC$.

Zadanie 305 Rozwiązanie
W zbiorze liczb całkowitych określono działanie $\oplus$ w następujący sposób: $a \oplus b = a-b + ab$, dla $a, b \in Z$
Ile rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych ma równanie $(x \oplus y) \oplus z + (y \oplus z) \oplus x = (y \oplus x) \oplus z$?

Zadanie 306 Rozwiązanie
Oblicz pole pięciokąta, którego wierzchołkami są zespolone pierwiastki wielomianu $W(x) = x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$.

Zadanie 307 Rozwiązanie
Jaki jest największy współczynnik w rozwinięciu wyrażenia $(a+b+c+d)^{13}$?

Zadanie 308 Rozwiązanie
Ile rozwiązań w liczbach naturalnych ma nierówność $n_1 + n_2 + n_3 + \ldots + n_{13} \le 13$?

Zadanie 309 Rozwiązanie
Wielobokiem nazywamy łamaną zamkniętą, łącznie ze wszystkimi obszarami ograniczonymi, stanowiącymi składowe uzupełnienia tej łamanej do płaszczyzny. Punkty przecięcia nie sąsiadujących ze sobą boków w wieloboku (o ile takie istnieją) nazywamy punktami wielokrotnymi.

Na rysunku powyżej jest pięć pięcioboków o liczbie punktów podwójnych odpowiednio $0, 1, 2, 3, 5$, i są to wszystkie możliwości, nie istnieje pięciobok o czterech punktach podwójnych. Dla pięcioboku największa możliwa liczba punktów podwójnych wynosi $5$.

Zadanie: Jaka jest największa możliwa liczba punktów podwójnych w dziesięcioboku?

Zadanie 310 Rozwiązanie
Dany jest ciąg $(a_n)$ zdefiniowany następująco: $a_0=1$, $a_1=2$, $a_{n+2} = a_n + (a_{n+1})^2$. Ile wynosi reszta z dzielenia liczby $a_{2013}$ przez 7?

Zadanie 311 Rozwiązanie
Ile nieprzystających trójkątów można utworzyć na wierzchołkach dwudziestokąta foremnego?

Zadanie 312 Rozwiązanie
Jaka jest ostatnia cyfra liczby $13^{13^{13^{13}}}$.

Zadanie 313 Rozwiązanie
Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzy losowo obrane punkty na płaszczyźnie będą wierzchołkami trójkąta rozwartokątnego?

Zadanie 314 Rozwiązanie
Na ile maksymalnie spójnych części, złożonych z pól białych lub czarnych, można podzielić szachownicę 8×8 tak, aby żadne dwie części nie były takie same?

Dwie części uznajemy za różne, jeśli w wyniku obrotu nie można nałożyć jednej na drugą uwzględniając także kolory pól.

Zadanie 315 Rozwiązanie
Ile punktów kratowych (punktów o całkowitych współrzędnych) zawiera koło o środku w początku układu współrzędnych i promieniu $100$?

Zadanie 316 Rozwiązanie
Kwadraty kolejnych liczb naturalnych napisano w jednym ciągu, jeden za drugim: $0149162536496481100121\ldots$. Jaka jest $2013$-ta cyfra tego ciągu?

Zadanie 317 Rozwiązanie
Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie $a$, ramionach $b$, wysokości $h$ i kącie między ramionami $\alpha$. Dla jakiej największej całkowitej miary (w stopniach) kąta $\alpha$, można zbudować trójkąt złożony z odcinków $a, b, h$?

Zadanie 318 Rozwiązanie
Wyznacz ostatnią cyfrę sumy $1^1 +2^2 + 3^3 + \ldots + 2013^{2013}$.

Zadanie 319 Rozwiązanie
Oblicz sumę wszystkich liczb ośmiocyfrowych utworzonych z różnych cyfr $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$.

Zadanie 320 Rozwiązanie
Święty Mikołaj ma $13$ różnych prezentów i musi rozdzielić je między czworo dzieci tak, aby troje z nich otrzymały po $3$ prezenty, a czwarte dziecko otrzymało $4$. Na ile sposobów może to uczynić?

strony: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18