Zadanie 321 Rozwiązanie
Cztery kule o promieniu $1$ są parami styczne. Oblicz promień kuli stycznej zewnętrznie do każdej z tych kul.

Zadanie 322 Rozwiązanie
Rowerzysta przebył w linii prostej $6\pi$ km na rowerze, którego koła mają promień $40$ cm. Ile kilometrów przebył ustalony punkt $M$ na brzegu koła roweru w czasie tej podróży?

Zadanie 323 Rozwiązanie
Na płaszczyźnie danych jest $6$ punktów, z których żadne $3$ nie są współliniowe. Przez każde trzy z tych punktów prowadzimy okrąg. Jaka jest największa możliwa liczba punktów przecięcia się tych okręgów?

Zadanie 324 Rozwiązanie
Ile razy w XXI wieku, trzynasty dzień miesiąca to piątek?

Zadanie 325 Rozwiązanie
Oblicz powierzchnię $13$-kąta o kolejnych wierzchołkach w punktach $(20, -20), (45, -15), (15, -10), (10, 20), (20, 25), (-25, 30), (-15, 15), (-30, 20), (-35, 5), (-20, 10), (-25, -5), (-10, -49), (-6, -10)$ układu współrzędnych, gdzie pierwszy i ostatni punkt są kolejnymi wierzchołkami.

Zadanie 326 Rozwiązanie
Ile spośród liczb naturalnych mniejszych od $10^{2013}$ ma sumę cyfr równą $2$?

Zadanie 327 Rozwiązanie
Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo narysowana cięciwa w kole będzie dłuższa od boku trójkąta równobocznego wpisanego w to koło?

Zadanie 328 Rozwiązanie

Na okręgu zaznaczono tysiąc punktów. Jednemu z punktów przypisujemy liczbę 1, po czym z tego punktu przechodzimy dwa punkty w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara i przypisujemy mu liczbę 2. Z punktu oznaczonego jako 2 odliczamy trzy punkty i oznaczamy ten punkt jako 3. Proces ten powtarzamy tak długo, aż jeden z punktów oznaczymy liczbą 2014. Niektóre z tych punktów będą miały więcej niż jedną przyporządkowaną liczbę, a niektóre nie będą miały ich w ogóle. Jaka najmniejsza liczba została przyporządkowana punkowi wspólnie z liczbą 2014?

Zadanie 329 Rozwiązanie

Trzy jednakowe okręgi są wzajemnie styczne zewnętrznie i styczne wewnętrznie do większego okręgu koła o powierzchni $1$. Oblicz powierzchnię zacieniowanego obszaru.

Zadanie 330 Rozwiązanie
Na ile sposobów można przedstawić liczbę $30$ jako uporządkowaną sumę liczb całkowitych, gdzie składniki muszą być większe lub równe od $2$?

Zadanie 331 Rozwiązanie
Niech $f(n)$ równe jest liczbie par kolejnych jedynek w binarnej reprezentacji liczby naturalnej $n$.
Oblicz $f(1) + f(2) + f(3) + \ldots + f(2014)$.

Zadanie 332 Rozwiązanie
Liczbę $\pi$ często zaokrągla się do dwóch miejsc po przecinku $\pi=3.14$. Znajdź najmniejszą dodatnią liczbę całkowitą $d$ taką, że jeśli powierzchnia koła o średnicy $d$ jest obliczana na podstawie tego przybliżenia, to błąd obliczeń przekroczy $1$.

Zadanie 333 Rozwiązanie
Oblicz powierzchnię obszaru zdefiniowanego przez $x^2 + y^2 \le |x| + |y|$ w $R^2$.

Zadanie 334 Rozwiązanie
Dana jest siatka $14 \times 14$ punktów kratowych. Jaka jest maksymalna liczba linii prostych, które można poprowadzić przez dwa punkty siatki tak, aby żadne dwie nie były równoległe?

Zadanie 335 Rozwiązanie
Dany jest ciąg $a_1, a_2, a_3, \ldots$ liczb całkowitych dodatnich taki, że $a_ka_{k+2} = a_{k+1}+1$, dla każdego $k$. Znajdź maksymalną wartość $a_{2014}$.

Zadanie 336 Rozwiązanie
Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowa liczba dziesięciocyfrowa o różnych cyfrach jest podzielna przez $11$?

Zadanie 337 Rozwiązanie
Ramiona i krótsza podstawa trapezu równoramiennego mają długości równe 1. Oblicz maksymalną powierzchnię tego trapezu.

Zadanie 338 Rozwiązanie
W trójkącie $ABC$ wysokość opuszczona na bok $AB$ dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty, z których każdy jest podobny do trójkąta $ABC$. Jaka jest najmniejsza możliwa długość boku $AB$ trójkąta $ABC$, jeśli długości boków wszystkich trzech trójkątów wyrażają się liczbami całkowitymi?

Zadanie 339 Rozwiązanie
Jeśli liczbę $n$ zapisaną w systemie o podstawie $10$ odczytamy w systemie o podstawie $20$, to jej wartość będzie dwukrotnie większa, aniżeli liczba $n$ odczytana w systemie o podstawie $14$. Znajdź największą liczbę $n$ o tej własności.

Zadanie 340 Rozwiązanie
Niech $n$ będzie liczbą trzycyfrową, której różnica każdych dwóch czynników pierwszych jest podzielna przez $3$, a $d(n)$ oznacza liczbę dzielników liczby $n$. Znajdź największą wartość $n \cdot d(n)$.

strony: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18